we consider Buschman-Erdelyi transmutations, its classification, brief history and basic applications.
differential equations, transmutations, integral transforms.
УДК 519.651
об одном классе операторов преобразования
ON A CLASS OF TRANSMUTATION OPERATORS
Ситник С.М.
Воронежский институт МВД России
г. Воронеж, Россия.
DOI: 10.12737/16948
Аннотация: рассматриваются операторы преобразования Бушмана-Эрдейи, их классификация, исторические сведения и основные приложения.
Summary: we consider Buschman-Erdelyi transmutations, its classification, brief history and basic applications.
Ключевые слова: дифференциальные уравнения, операторы преобразования, интегральные преобразования.
Keywords: differential equations, transmutations, integral transforms.
Теория операторов преобразования – это самостоятельный раздел современной математики, имеющий многочисленные приложения [1-4]. Важным классом операторов преобразования являются операторы Бушмана–Эрдейи. Название "операторы Бушмана– Эрдейи" было предложено автором, в последнее время оно стало общепринятым. Изучение разрешимости и обратимости данных операторов было начато в 1960–х годах в работах Р. Бушмана и А. Эрдейи. Операторы Бушмана–Эрдейи или их аналоги изучались также в работах T.P. Higgins,TaLi, E.R. Love, G.M. Habibullah, K.N. Srivastava, Динь Хоанг Ань, В.И. Смирнова, Н.А. Вирченко, И. Федотовой, А.А. Килбаса, Б. Рубина, О.В. Скоромник и ряде других работ. При этом изучались задачи о решении интегральных уравнений с этими операторами, их факторизации и обращения [5].
В докладе перечислены основные результаты, полученные автором: введены операторы Бушмана–Эрдейи первого, второго и третьего родов, причём два последних класса ранее не вводились и не исследовались, впервые операторы Бушмана–Эрдейи изучены как операторы преобразования (ОП), введено понятие гладкости для операторов Бушмана–Эрдейи, получены новые формулы факторизации, изучено действие операторов Бушмана–Эрдейи нулевого порядка гладкости в пространствах L2(0,∞) и весовых пространствах Лебега. Получены точные значения норм, найдены условия ограниченности и неограниченности.
1. Sitnik S. M. Operatory preobrazovaniya i ikh prilozheniya// Issledovaniya po sovremennomu analizu i matematicheskomu modelirovaniyu. (Red. Yu.F. Korobeynik, A.G. Kusraev). - 2008. - Vladikavkaz. -C. 226-293.
2. Sitnik S.M. Transmutations and Applications: a survey// arXiv:1012.3741.- 2012. - 141P.
3. Sitnik S. M. Buschman-Erdelyi transmutations, classification and applications// arXiv: 1304.2114. - 2013. - 67 P.
4. Sitnik S. M. Buschman-Erdelyi transmutations, classification and applications// In the Book: Analytic Methods Of Analysis And Differential Equations: AMADE 2012 (Edited by M.V. Dubatovskaya, S.V. Rogosin). - Cambridge Scientific Publishers, Cottenham. - 2013.-31 P.
5. Sitnik S. M. Unitarnost´ i ogranichennost´ operatorov Bushmana-Erdeyi nulevogo poryadka gladkosti// Preprint. Institut avtomatiki i pro-tsessov upravleniya DVO AN SSSR. - 1990. - 44 S.
6. Sitnik S. M. Reshenie zadachi ob unitarnom obobshchenii operatorov preobrazovaniya Sonina-Puassona// Nauchnye vedomosti Belgorodskogo gosudarstvennogo universiteta. - 2010. - Vyp. 18,№5 (76).-S. 135-153.
7. Katrakhov V.V., Sitnik S.M. Metod faktorizatsii v teorii operatorov preobrazovaniya// V sb.: Neklassicheskie uravneniya i uravneniya smeshannogo tipa. (Memorial´nyy sbornik pamyati Borisa Alekseevicha Bubnova, otv. red. V.N. Vragov). 1990, Novosibirsk. S.104-122.
8. Katrakhov V.V., Sitnik S.M. Kompozitsionnyy metod postroeniya V--ellipticheskikh, V giperbolicheskikh i V-parabolicheskikh operatorov preobrazovaniya// DAN SSSR, 1994. № 337;3. S.307-311.
9. Sitnik S.M. Faktorizatsiya i otsenki norm v vesovykh lebegovykh prostran-stvakh operatorov Bushmana-Erdeyi// DAN SSSR. 1991. t.320, №6. S. 1326- -1330.
10. Katrakhov V.V., Sitnik S.M. Kraevaya zadacha dlya statsionarnogo uravneniya Shredingera s singulyarnym potentsialom// DAN SSSR. 1984. T. 278, №4. S.797-799.
11. S.M. Sitnik. Metod faktorizatsii operatorov preobrazovaniya v teorii differentsial´nykh uravneniy// Vestnik Samarskogo Gosudarstvennogo Universiteta (SamGU) - Estestvennonauchnaya seriya. 2008. № 8/1 (67). S. 237- 248.
12. S.M. Sitnik. Operatory preobrazovaniya Bushmana-Erdeyi, ikh klassifikatsiya, osnovnye svoystva i prilozheniya. Nauchnye vedomosti Belgorodskogo gosudarstvennogo universiteta. Matematika. Fizika. 2015, № 11 (208), Vyp. 39, S. 60-76.
13. D. Karp, A. Savenkova A., S.M. Sitnik. Series expansions for the third incomplete elliptic integral via partial fraction decompositions. Journal of Computational and Applied Mathematics. 2007, V. 207 (2), P. 331-337.
14. A.I. Nedoshivina, S.M. Sitnik. Prilozheniya geometricheskikh algo-ritmov lokalizatsii tochki na ploskosti k modelirovaniyu i szhatiyu informatsii v zadachakh videonablyudeniy. Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta. 2013, T. 9 (4), S. 108-111.
