Russian Federation
Russian Federation
Russian Federation
UDC 004.2
UDC 656.13
UDC 656.021
The use of mathematical modeling of queuing systems with waiting is considered for the conditions of motor vehicle parking in cities. Vehicle parking processes are analyzed based on queuing theory from probability theory
MODELLING, PARKING, VEHICLE PARKING FACILITIES, QUEUING SYSTEMS
1 Состояние вопроса исследования и актуальность работы
Для ее решения предлагается новая разработанная комплексная имитационная модель процессов паркирования автотранспорта, основанная на аппарате теории массового обслуживания (ТМО) с учетом специфики функционирования парковочного пространства крупного города. В отличие от существующих подходов, предлагаемая модель:
1) Рассматривает улично-дорожную сеть и парковочные зоны как единую стохастическую сеть массового обслуживания с отказами и ожиданием.
2) Учитывает нестационарный (зависящий от времени суток) характер входящего потока заявок (автомобилей, ищущих место для парковки).
3) Включает в себя параметры, описывающие поведенческие аспекты водителей (например, готовность к отказу от парковки или выбору альтернативного места в зависимости от времени поиска).
4) Позволяет оценивать ключевые показатели эффективности работы парковочной системы, такие как среднее время поиска парковочного места, вероятность отказа, коэффициент загрузки парковочных зон и уровень индуцированного трафика, порожденного автомобилями, находящимися в поиске.
Целью работы является повышение эффективности управления парковочным пространством крупного города за счет внедрения инструмента математического моделирования, позволяющего проводить оценку и прогнозирование последствий реализации различных организационных и инвестиционных решений.
В настоящее время центры крупных городов России и их отдельные районы имеют возросшие значения мест притяжения (торгово-развлекательных, культурно-бытовых и др.) наряду с существенно выросшим количеством легкового автотранспорта. Уровень автомобилизации в России за последние 30-40 лет увеличился в 4-5 раз. И хотя его значения пока в 2-2,5 раза ниже показателей Европы и США, в центрах крупных городов России возникают острейшие дефициты мест паркирования автотранспорта.
В тоже время большинство российских городов имеют плотную исторически сложившуюся застройку и сеть узких улиц. Отсутствие развития этого фактора на фоне растущей автомобилизации весьма ограничивает возможности для паркирования автомобилей.
2 Материалы и методы
Методологической основой данного исследования выступил аппарат теории массового обслуживания (ТМО). В рамках работы система паркирования автотранспорта в крупном городе была формализована в виде многоканальной системы массового обслуживания (СМО) с ожиданием.
Для анализа основных характеристик процесса обеспечения паркирования на стоянках были использованы элементы теории вероятностей. Это позволило описать ключевые параметры системы стохастическими методами и оценить ее показатели эффективности:
1) средняя длина очереди автомобилей, ожидающих свободного места на стоянке;
2) среднее время ожидания в очереди;
3) коэффициент загрузки парковочных мест (каналов обслуживания);
4) вероятность возникновения очереди.
Такой подход обеспечил рассмотрение нестационарных потоков заявок (автомобилей) и времени обслуживания (занятости парковочного места) с учетом их вероятностной природы, что позволило построить адекватную модель функционирования системы паркирования в условиях неопределенности.
Методами исследования являлись элементы теории массового обслуживания, которые обеспечили рассмотрение системы массового обслуживания с ожиданием при исследовании основных характеристик по обеспечиванию паркирования автотранспорта на стоянках. При исследовании системы паркирования с ожиданием использовались элементы теории вероятностей.
3 Результаты исследований
Система массового обслуживания обеспечивает обслуживание (выполнения) какого-то потока заявок на паркирование автомобилей в случайные моменты времени. Обслуживание поступившей заявки удовлетворяется в случае свободного места на паркирование. Случайный характер потока заявок приводит к тому, что в какие-то промежутки времени на входе СМО будут появляться излишне заявки. Они будут образовывать очередь автомобилей, поступивших для паркирования, что может приводить к покиданию СМО необслуженными автомобилями из очереди. В другие же периоды СМО будет работать с недогрузкой или простаивать [3, 4].
Система массового обслуживания при исследовании паркирования автомобилей в зависимости от характера потока заявок на их паркирование определяет пропускную способность, которая будет обеспечивать успешное удовлетворение поступившего потока на паркирование [5-7].
Рассмотрим одноканальную (n = 1) СМО с ожиданием, в которую поступает поток заявок на паркирование с интенсивностью (λ), интенсивностью обслуживания (μ) и количеством обслуженных при этом заявок 
. Заявка на паркирование автомобиля, поступающего в момент, когда канал (парковочное место) занят, становится в очередь и ожидает обслуживания, когда освободится хотя бы одно парковочное место. При этом обслуживание может быть упорядоченным (в порядке очереди), хаотичным (кто сумеет вперед выйти к каналу обслуживания и приоритетным (обслуживание минуя очередь).
Предположим, что количество автомобилей в очереди ограничено числом (m), то есть автомобиль прибыл для паркирования в момент, когда в очереди уже стоят (m) автомобилей (заявок). Автотранспорт в этом случае покидает систему парковки необслуженной [8].
Состояние СМО может быть пронумеровано по числу заявок на паркирование автотранспорта, которые могут находится как в состоянии обслуживания, так и в состоянии ожидающих обслуживания в некоторой системе (S) [9-11]:
S0 – канал свободен, то есть места для паркирования автотранспорта имеются;
S1 – канал занят, то есть все места для паркирования автотранспорта заняты, но очереди нет;
S2 – канал занят, но одно место для паркирования автотранспорта стоит в очереди (то есть имеется);
Sk – канал занят, (k-1) заявок стоит в очереди;
Sm+1 – канал занят, (m) заявок стоят в очереди.
При анализе случайных процессов с дискретными состояниями, которые имеют место в результате паркирования автотранспорта, удобно пользоваться так называемым графом состояний системы (S) и переходов (ГСП).
Граф состоянии и переходов (ГСП) в местах организации паркирования автотранспорта представлен на рис. 1 [12].
Рисунок 1 – Одноканальная система массового обслуживания с ожиданием
Из рис. 1 следует, что все интенсивности потоков событий перехода системы (S) по стрелкам слева направо, равны (l), а справа налево – (m). То есть по стрелкам слева направо систему переводит поток заявок (как только приходит новая заявка, система переходит в следующее состояние). В случае же направления справа налево имеем поток «освобождения» мест паркирования автотранспорта, имеющий интенсивность (m). В этом случае, как только будет обслужена очередная заявка, паркируемое место автотранспорта освободится, что приведет к уменьшению заявок в очереди [13-15].
Процесс, происходящий в системе (рис.1), можно представить как последовательную цепочку случайных событий, которая получила название марковской цепи (
). При этом для каждого шага вероятность перехода (P) из любого состояния (Si) в любое состояние Sj не зависит от того, когда и как система перешла в состояние (Si).
Вероятности этих событий (P) для k-го шага, называются вероятностями состояний и имеют вид:
(1)
Эти вероятности (1) удовлетворяют дифференциальным уравнениям Колмогорова. Решая эти уравнения, можно вычислить вероятности состояний во времени (t)
, (2)
удовлетворяющих условию
. (3)
В результате решения дифференциальных уравнений Колмогорова для паркирования автотранспорта в системе массового обслуживания с ожиданием получены следующие выражения для предельных вероятностей состояний [12]:
где 
– приведенная интенсивность потока заявок по паркированию автотранспорта;
l – интенсивность потока заявок, авто/ч. (поток автомашин, прибывающих для паркирования);
m –- интенсивность потока автомобилей, находящихся в паркировании, авто/ч.
После преобразования в окончательном виде предельные вероятности, определенные из дифференциальных уравнений Колмогорова, принимают вид:
(5)
В результате преобразований определены основные характеристики для СМО. Расчет основных характеристик в системе массового обслуживания с ожиданием при паркировании автотранспорта проводится в следующей последовательности:
- Вероятность отказа. Отказ имеет место в том случае, когда все места для паркирования автотранспорта заняты и все m мест в очереди тоже:
- Относительная пропускная способность:
3) Абсолютная пропускная способность:
- Средняя длина очереди:
- Среднее число заявок, находящихся в системе:
- Среднее время ожидания в очереди, определяемое как отношение среднего числа заявок в очереди к интенсивности потока заявок:
- Среднее время пребывания заявки в системе tсмо. Время пребывания заявки в СМО в результате паркирования автотранспорта будет состоять из среднего времени ожидания в очереди и среднего времени обслуживания (непосредственного паркирования автотранспорта
):
Тогда полное время будет равно
Теоретически обоснована и разработана методика моделирования процессов массового обслуживания для систем паркирования автомобильного транспорта, обслуживающих объекты массового тяготения в городских агломерациях. Для расчета ключевых характеристик системы массового обслуживания (СМО) с ожиданием применялся аппарат теории вероятностей, в частности, система дифференциальных уравнений Колмогорова.
Использование уравнений Колмогорова позволяет анализировать вероятности перехода парковочной системы из одного состояния (Si) в другое и на этой основе вычислять основные показатели эффективности СМО с ожиданием. Предложенная методика была апробирована на примере парковки, расположенной у торгового центра «Московский проспект» в г. Воронеже.
Апробация модели на практическом примере
Исследование выполнено для парковки торгового центра «Московский проспект» в г. Воронеже – типичного объекта массового тяготения в крупном городе. Парковочная зона допускала нахождение в очереди не более одного автомобиля (m = 1). При занятой очереди прибывающий автомобиль покидал систему, не становясь в очередь.
Приведенная интенсивность потока заявок составила:
где m – интенсивность обслуживания; r – непрерывно занятые места паркирования в единицу времени. Если место занято, то автотранспорт становится в очередь и ожидает освободившиеся места.
По формулам (5) получим:
Вероятность отказа определяется по формуле (6):
Относительная пропускная способность СМО с ожиданием по зависимости (7) равна:
Абсолютная пропускная способность СМО с ожиданием автомашин в минуту по зависимости (8) будет равна:
Среднее число автомобилей в очереди для паркирования по формуле (9) будет равно:
Среднее число автомобилей, находящихся под обслуживанием по формуле (10):
Среднее время ожидания автотранспорта в очереди по формуле (11) соответственно равно:
Среднее время пребывания автотранспорта в СМО с ожиданием 
определяется из среднего времени ожидания в очереди 
и среднего времени обслуживания .
Пробный проведенный расчет основных характеристик СМО с ожиданием является весьма актуальным в местах тяготения больших городов. Так, данный расчет использовался для одного из мест (сооружений) по паркированию автотранспорта в г. Воронеже под торговым центром «Московский проспект». Площадка перед данным сооружением допускала пребывание в очереди на паркирование не более одного автотранспорта (m = 1). Если в очереди уже находится один автомобиль, очередной автомобиль, прибывший для паркирования, в очередь не становится. Поток автомашин, прибывающих для паркирования в данном месте, имел интенсивность l = 0,1 (поступление автотранспорта в минуту, что соответствовало 6 автомашин в час). Процесс длительности паркирования автотранспорта в среднем составлял 30 мин. Проведенный расчет демонстрирует низкую эффективность работы рассматриваемой парковочной системы. Высокая вероятность отказа (Pотк ≈ 0,967) и чрезмерно большое время ожидания в очереди (Pож ≈ 9,67 мин.) свидетельствуют о значительной перегрузке и необходимости оптимизации организации парковочного пространства. Полученные результаты подтверждают актуальность применения методов теории массового обслуживания для анализа и проектирования систем паркирования в местах массового тяготения крупных городов.
4 Обсуждение и заключение
Проведенное исследование было мотивировано необходимостью решения одной из наиболее острых проблем современных городов – дефицита эффективных парковочных пространств. Как показал анализ, работа автостоянок, особенно в местах массового тяготения, должна быть организована таким образом, чтобы максимально удовлетворять существующий спрос. Однако это удовлетворение может быть либо полным (когда стоянка принимает весь входящий поток автотранспорта), либо неполным, что приводит к отказам и формированию очередей. Критически важным фактором, определяющим эту динамику, является не только пропускная способность самой стоянки, но и ее месторасположение в городской структуре.
Настоящая работа демонстрирует, что аппарат теории массового обслуживания предоставляет надёжный математический инструментарий для адекватной оценки реального состояния работы парковочных систем. Предложенная методика позволяет количественно определить ключевые показатели эффективности, такие как абсолютная и относительная пропускная способность, среднее время ожидания в очереди, вероятность немедленного обслуживания и, что наиболее значимо, вероятность отказа. Последний показатель является интегральной характеристикой, наглядно демонстрирующей, насколько стоянка справляется с пиковой нагрузкой.
Работа автостоянок должна быть построена таким образом, чтобы удовлетворять спрос на паркирование автомобилей. Однако это удовлетворение может быть либо полным, то есть стоянка может принимать весь поток автотранспорта (например, в местах притяжения в дневное время), либо неполным. Важным фактором при этом является месторасположение стоянки на карте города. Реальное состояние работы стоянок для паркирования автотранспорта можно определять используя аппарат теории массового обслуживания, который позволяет оценивать показатели эффективности работы стоянки паркирования автотранспорта: абсолютную и относительную пропускную способность, среднее время продолжительности паркирования, средний интервал и интенсивности прибытия автотранспорта для паркирования и обслуживания автотранспорта на стоянке, вероятность немедленного принятия автотранспорта на обслуживание, вероятность отказа в обслуживании (вероятности занятости системы).
В рамках исследования установлено, что для успешного применения данной методики необходимы три исходных параметра: средний интервал прибытия автотранспорта, средняя продолжительность паркирования и количество парковочных мест. Эти показатели, получаемые в ходе натурных наблюдений, являются фундаментом для построения достоверной модели и последующих расчетов.
Рост уровня автомобилизации в условиях ограниченной пропускной способности улично-дорожной сети породил системный кризис паркирования в крупных городах, особенно актуальный в зонах массового тяготения. В ответ на эту задачу в статье предложен механизм формализации работы автостоянок как системы массового обслуживания с отказами и ограниченной очередью.
Полученные результаты имеют научную и практическую значимость:
1) В отношении теоретического обоснования представлена и апробирована методика, позволяющая рассматривать парковочную инфраструктуру как стохастическую сеть массового обслуживания, что позволяет применять к ее анализу хорошо разработанный математический аппарат.
2) В отношении систематизации результатов выделены и структурированы ключевые показатели, характеризующие эффективность системы паркирования, и предложен четкий порядок их расчета на основе уравнений Колмогорова.
3) В отношении практической апробации разработанная методика была успешно применена для оценки функционирования реальной стоянки в г. Воронеже. Расчеты наглядно показали низкую эффективность системы (вероятность отказа ~0,69), что свидетельствует о ее значительной перегрузке и подтверждает необходимость оптимизации – например, за счет увеличения количества мест или внедрения системы управления очередью.
Рост автомобилизации, малая плотность дорожной сети создало проблемы паркирования автотранспорта в городах, особенно в местах массового тяготения. В связи с этим в статье предложен механизм работы стоянок автотранспорта как системы массового обслуживания с отказами. Выделены показатели, характеризующие систему паркирования автотранспорта и предложен порядок их расчета. Предложена методика оценки функционирования стоянок для паркирования автотранспорта, обслуживающих объекты массового тяготения, которое сопровождается конкретным расчетом одной из стоянок в Воронежской области.
Таким образом, использование теории массового обслуживания открывает возможности для перехода от интуитивного управления парковочным пространством к научно обоснованному проектированию и оперативному регулированию, что является важным этапом на пути к созданию устойчивой транспортной среды в крупных городских агломерациях.
Перспективы дальнейших исследований видятся в разработке оптимизационных моделей, учитывающих неоднородность парковочного спроса в течение суток, поведенческие модели водителей и возможность создания централизованных систем управления парковочным пространством всего города.
1. Störmer, R. (1970). Probability theory. Mathematical statistics. Statistical quality control. Moscow: Mir. – P. 368.
2. Maltsev, Yu.A. (2010). Economic-mathematical methods for designing transport structures. Moscow: Academy. – P. 320.
3. Venttsel, E.S., & Ovcharov, L.A. (1991). Theory of random processes and its engineering applications. Moscow: Nauka. – P. 384. EDN: https://elibrary.ru/YNMQIF
4. Golubev, E.A. (1988). Car parks and garages in urban development. Stroyizdat. – P. 252.
5. Golts, G.A. (2002). The road complex in the context of explosive motorization: trends, patterns, forecast. Studies on Russian Economic Development, №4, pp. 75-83. EDN: https://elibrary.ru/HRTPPL
6. Kinoring, V.I. (1997). The art of management. Moscow: BEK. – P. 288.
7. Lobanov, E.M. (1990). Transport planning of cities. Moscow: Stroyizdat. – P. 240.
8. Saaty, T.L. (1971). Elements of queueing theory and its applications. Moscow: Sovetskoye Radio. – P. 520.
9. Feller, W. (1984). An introduction to probability theory and its applications (Vols. 1-2). Moscow: Mir. – P. 528.
10. Chetyrkin, E.M. (1997). Statistical forecasting methods. Moscow: Statistika. – P. 200.
11. Arnold, V.I. (2003). Analytics and forecasting: mathematical aspect. Scientific and Technical Information, Series, Vol. 1, №3, pp. 1-11.
12. Partyka, T.L., & Popov, I.I. (2009). Mathematical methods. Moscow: FORUM: INFRA-M. – P. 464.
13. Pinegina, M.V. (2002). Economic-mathematical methods and models. Moscow: Ekzamen. – P. 228.
14. Protasov, I.D. (2003). Game theory and operations research. Moscow: Gelios ARV. – P. 204.
15. Karasev, A.I., et al. (1987). Mathematical methods and models in planning. Moscow: Ekonomika. – P. 302.
