В нормированном банаховом пространстве рассматривается вырождающееся в нуле интегро-дифференциальное уравнение. Для него строится множество решений со значениями в некотором специально введённом пространстве функций, равных в нуле нулю.
интегральное уравнение, банахово пространство, операторный пучок, спектр
Введение
В связи с расширяющимся объемом приложений особое развитие получила теория дифференциальных и интегро-дифференциальных уравнений. Она применяется при решении задач обработки экспериментальных данных, задач численного дифференцирования, различных обратных задач, поэтому решение таких уравнений является актуальным и в настоящее время.
Рассматривается интегро-дифференциальное уравнение вида
, (1)
где 
, 
.
Оно изучается в пространстве 
. Операторы 
, 
, …, 
являются ограниченными в 
.
Рассмотрим операторный пучок
(2)
Теорема. Дано:
- пучок (2) имеет собственное значение
; - собственному значению
принадлежит цепочка элементов банахова пространства 
.
Тогда рассматриваемое равенство (1) имеет следующее решение
, где 
. (3)
Построение решения
Подставляя (3) в (1) получаем
(4)
Приравнивая коэффициенты при 
нулю, получаем
(5)
Систему уравнений (5) можно переписать в виде
(6)
Из системы уравнений (6) следует, что
.
1. Sato, T. Sur l΄equation integrale / T. Sato // J. Math. Soc. Japan. - 1953. - V. 5. - № 2. - P. 145-153.
2. Takesada, T. On the singular point of integral equations of Volterra type / T. Takesada // J. Math. Soc. Japan. - 1955. - V. 7. - № 2. - P. 123-136.
3. Панов, Л. И. Об интегральных уравнениях с ядрами, имеющими неинтегрируемую особенность произвольного порядка / Л. И. Панов // ДАН Тадж. ССР. - 1967. - T. 10. - № 6. - C. 3-7.
4. Магницкий, Н. А. О существовании многопараметрических семейств решений интегрального уравнения Вольтерра I-го рода / Н. А. Магницкий // ДАН СССР. - 1977. - T. 235. - № 4. - C. 772-774.
5. Магницкий, Н. А. Многопараметрические семейства решений интегральных уравнений Вольтерра / Н. А. Магницкий // ДАН СССР. - 1978. -T. 240. - № 2. - C. 268-271.
6. Магницкий, Н. А. Линейные интегральные уравнения Вольтерра I и III рода / Н. А. Магницкий // Журнал выч. мат. и мат. физ. - 1979. - T. 19. - № 4. -C. 970-988.
7. Крейн, С. Г. О полноте системы решений интегрального уравнения Вольтерра с особенностью / С. Г. Крейн, И. В. Сапронов // Докл. РАН. - 1997. - T. 355. - № 4. - C. 450-452.
8. Крейн, С. Г. Об интегральных уравнениях Вольтерра с особенностями / С. Г. Крейн, И. В. Сапронов // УМН. - 1995. - T. 50. - Вып. 4. - C. 140.
9. Krein, S. G. Singular integral Volterra equations / S. G. Krein // Abstracts. International Congress of Mathematics. Zurich. 3-11 August 1994. - P. 125.
10. Krein, S. G. One class of solutions of Volterra equation with regular singularity / S. G. Krein, I. V. Sapronov // Укр. мат. ж. - 1997. - T. 49. - № 3. - С. 424-432.
11. Сапронов, И. В. Многопараметрическое семейство решений интегрального уравнения Вольтерра с особенностью в банаховом пространстве // Известия высших учебных заведений. Математика. 2011. - № 1. - С. 59-71.
12. Сапронов, И. В. Уравнение Вольтерра с особенностью в банаховом пространстве / И. В. Сапронов // Известия высших учебных заведений. - Математика. - 2007. - № 11. - С. 45-55.
13. Сапронов, И. В. Многопараметрическое семейство решений интегрального уравнения Вольтерра с особенностью в банаховом пространстве / И. В. Сапронов // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2005. - № 2. - С. 81-83.
14. Сапронов, И. В. Об одном классе решений уравнения Вольтерра II рода с регулярной особенностью в банаховом пространстве / И. В. Сапронов // Известия высших учебных заведений. Математика. - 2004. - № 6. - С. 48-58.
