В статье рассматривается начально-краевая задача, моделирующая колебательные процессы с краевым условием типа люфт. Такого рода задача возникает при изучении колебаний струны, движение которой ограничено, например, втулкой, сосредоточенной в одной точке.
волновое уравнение, формула Даламбера, конус нормалей, дифференциальное включение.
УДК: 517.954
ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ
С УСЛОВИЕМ ГИСТЕРЕЗИСНОГО ТИПА
THE WAVE EQUATION
WITH THE CONDITION OF HYSTERESIS TYPE
Зверева М.Б., к.ф.-м.н., доцент
Гудошников И.М., аспирант
Каменский М.И., д.ф.-м. н., профессор
ФГБОУ ВПО « Воронежский государственный университет »
г. Воронеж, Россия
DOI: 10.12737/6753
Аннотация: В статье рассматривается начально-краевая задача, моделирующая колебательные процессы с краевым условием типа люфт. Такого рода задача возникает при изучении колебаний струны, движение которой ограничено, например, втулкой, сосредоточенной в одной точке.
Summary:The article deals the initial-boundary value problem, modeling the oscillatory processes with boundary condition type of backlash. This kind of problem arises in the study of vibrations of a string, the movement of which is limited, for example, sleeve, concentrated at one point.
Ключевые слова: волновое уравнение, формула Даламбера, конус нормалей, дифференциальное включение.
Keywords: wave equation, d'Alembert formula, normal cone, differential inclusion.
Пусть вдоль отрезка [0,l] натянута струна, отклонение которой от положения равновесия определяется функцией u(x,t). Предположим, чтолевый конец струны жестко закреплен, т.е. выполнено условие u(0,t)=0. Правый конец струны скользит (без учета трения) по вертикальной спице внутри втулки, представляющей собой отрезок [-h,h], где h>0. Пока |u(l,t)|<h, правый конец струны внутри втулки остается свободным, что может быть выражено условием . Если же струна коснулась граничной точки втулки, то некоторое время должно быть выполнено условие u(l,t)=h, либо u(l,t)=-h соответственно. Заметим, что мы допускаем случай, когда втулка сама может двигаться в перпендикулярном к оси Oxнаправлении так, что ее движение задается отображением . Предположим, что в начальный момент времени скорость струны нулевая, а форма струны задается функцией . Причем, . Математическая модель такой задачи может быть представлена в виде
1. Ильин, В.А. Граничное управление процессом колебаний на двух концах в терминах обобщенного решения волнового уравнения с конечной энергией / В.А. Ильин // Дифференциальные уравнения. - 2000. - Т. 36, № 11. - С. 1513-1528.
